Это решение не годится. Как бы остро мы не затачивали карандаши, в одной точке они не сойдутся. В лучшем случае, каждый карандаш будет касаться двух соседних. Это хорошо видно на первом стартовом изображении.

Дабы избежать дальнейших бесплодных споров о возможных тонкостях материи, переформулируем задачу следующим образом: будем считать карандаши новыми и не заточенными. Короче говоря, в задаче идет речь о шести цилиндрах одинакового радиуса.

Дальнейшие выкладки будем делать на шестигранных каранашах. Думаю фантазии хватит, чтобы понять, что для цилиндров все будет работать тоже ;)))

 Можно легко понять, что задачу нужно решать не в плоскости. Простое складывание карандашей 3+3 друг на друга, так же не является решением. Хотя мы уже вплотную приблизились к решению: Каждый карандаш касается четырех остальных, а некоторые даже пяти как надо. На рисунке видно, что не дотягиваются только пара крайних карандашей в каждом ряду

А что нам мешает дотянуть друг до друга эти крайние карандаши? Да, собственно, ничего не мешает! Получим картинку:

Действительно, это и будет искомым решением!

Кстати, это решение не единственное. Другое альтернативное решение показано на следующем кадре:

Это решение не очень красиво. отсутствует симметрия. Хочется завершенности. После недолгих попыток удалось получить симметричное решение:

 Что мы видим? Симметричное отверстие в центре фигуры и седьмой, случайно завалявшийся в кустах, карандаш. Есть идея?

Аккуратно стягиваем центральное отверстие до размеров диаметра карандаша и аккуратно вставляем постедний седьмой карандаш в полученный колодец. Если торец карандаша ровный, а столик горизонтальный, то получаем устойчивую конструкцию "Счастливец в колодце":

Ближайшее рассмотрение подтверждает догадку, что все карандаши касаются шести других!

Итак, получили решение задачи про семь карандашей (неподточенных!), которые касаются каждый каждого.

PS. Автор благодарит Илью Бушмелева за альтернативное решение карандашной проблемы

PS.PS. Автор выражает благодарность Александре Бушмелевой за любезно предоставленные карандаши и участие в карандашных опытах.